Capitolo 5
Inferenza Bayesiana
Le tecniche di inferenza bayesiana mostrano come dovremmo aggiornare le nostre convinzioni mentre osserviamo i dati
Teorema di Bayes
Supponiamo che durante la tua ultima visita all'ambulatorio, tu decida di sottoporti ad un test per una malattia rara. Se sei abbastanza sfortunato da ricevere un risultato positivo, la domanda logica che ti farai sarà: "Dato il risultato del test, qual è la probabilità che io abbia effettivamente questa malattia?" (I test medici, dopo tutto, non sono perfettamente accurati). Il Teorema di Bayes dice esattamente come calcolare questa probabilità:
$$P(\text{Disease}|+) = \frac{P(+|\text{Disease})P(\text{Disease})}{P(+)}$$Come indica l'equazione, la probabilità posteriore di avere la malattia dato che il test era positivo dipende dalla precedente probabilità della malattia \( P (\text {Disease}) \). Questo va visto come l'incidenza della malattia nella popolazione generale. Imposta questa probabilità usando le barre sottostanti.
La probabilità a posteriori dipende anche dall'accuratezza del test: quanto spesso il test riporta correttamente un risultato negativo per un paziente sano e quanto spesso riporta un risultato positivo per qualcuno malato? Determina queste due distribuzioni qua sotto.
Infine, dobbiamo conoscere la probabilità complessiva di un risultato positivo. Utilizzare i pulsanti qui sotto per simulare l'esecuzione del test su un campione rappresentativo dalla popolazione.
| Negativo | Positivo |
|---|---|
Ora abbiamo tutto ciò di cui abbiamo bisogno per determinare la probabilità a posteriori di avere la malattia. La seguente tabella fornisce questa probabilità, tra le altre cose, usando il Teorema di Bayes.
| Negativo | Positivo | |
|---|---|---|
| Sano | ||
| Malato |
Funzione di Verosimiglianza
In statistica, la funzione di verosimiglianza ha questa precisa definizione:
$$L(\theta | x) = P(x | \theta)$$Il concetto di verosimiglianza gioca un ruolo fondamentale nelle statistiche bayesiane e in quelle frequentiste.
Scegli una dimensioni campione \(n\) e campionae una volta dalla distribuzione selezionata.
Usa il cursore viola a destra per visualizzare la funzione di verosomiglianza.
a Priori e a Posteriori
Al centro delle statistiche bayesiane c'è l'idea che le convinzioni precedenti debbano essere aggiornate man mano che vengono acquisiti nuovi dati. Considera una moneta possibilmente parziale che si presenta con probabilità \(p\). Questo cursore viola determina il valore di \(p\) (che praticamente sarebbe sconosciuto).
Il cursore rosa definisce la forme della distribuzione iniziale a priori \(\text{Beta}(\alpha, \beta)\), anche la funzione di densità è in rosa.
Di volta in volta che acquisiamo i dati sotto forma di lanci della moneta, andiamo ad aggiornare la distribuzioe a posteriori \(p\), che rappresenta la nostra migliore stima sui valori più fattibili del bias della moneta. Questa distribuzione aggiornata funge da precedente per i futuri lanci di monete.
