Capitolo 3

Distribuzioni di Probabilità

Una distribuzione di probabilità determina la fattibilità di ciascuno dei possibili risultati di un esperimento.

Variabili Aleatorie

Formalmente, una variabile aleatoria è una funzione che assegna un numero reale a ciascun evento nello spazio di probabilità. In questa attività potai definire la tua variabile casuale nello spazio di probabilità alla tua destra dove, ogni casella, ha la stessa probabilità di accadere. Da qui puoi generare un campione per trovare la sua distribuzione empirica.

Seleziona, con un clic e trascinamento del mouse, le caselle nello spazio di probabilità alla tua destra. Quindi scegli un numero reale dal menu sottostante e premi "Invio"

Colore	Valore
	0

Genera un campione dallo spazio di probabilità per produrre la distribuzione empirica della tua variabile aleatoria.

Distribuzione del Campione

Ricomincia

Discrete e Continue

Hai due tipi di distribuzioni di probabilità

Discrete Continue

Una variable aleatoria discreta ha un numero finito o numerabile di valori possibili.

Se $ X $ è una variable aleatoria discreta, allora esistono funzioni uniche non negative, $ f(x) $ y $ F(x) $, per cui la seguente affermazione è vera:

$$\begin{align*}P(X = x) &= f(x)\\P(X < x) &= F(x)\end{align*}$$

Qui è possibile conoscere alcune delle principali distribuzioni discrete. Scegline una per visualizzarla. La funzione probabilità di massa $ f(x) $ è visualizzata in giallo e la funzione di distribuzione accumulata $ F(x) $ in arancio (puoi modificarle tramite cursore).

Una variabile aleatoria Bernoulli assume il valore 1 con probabilità $p$ e il valore 0 con probabilità $1-p$. Viene spesso utilizzata per rappresentare esperimenti binari come il lancio di una moneta.

Una variable aleatoria binomiale è la somma di $n$ variabili causuali Bernoulli independenti con parametro $p$. Viene spesso usata per modellare il numero di risultati in uno specifico numero di esperimenti binari identici, come il numero di teste di cinque lanci di monete.

Una variabile aleatoria binomiale negativa conta il numero di successi in una sequenza di prove indipendenti di Bernoulli con il parametro $p$ prima che si verifichino iun errore $r$. Ad esempio, questa distribuzione può essere utilizzata per modellare il numero di teste prima di osservare tre sequenze di croce dai lanci di una moneta.

Una variabile aleatoria geometrica conta il numero di prove necessarie per osservare un singolo successo, in cui ogni prova è indipendente ed ha probabilità di successo $p$. Ad esempio, questa distribuzione può essere utilizzata per modellare il numero di volte in cui un dado deve essere lanciato fino a che non appare il numero sei

Una variabile casuale di Poisson conta il numero di eventi che si verificano in un intervallo fisso di tempo o spazio, dato che questi eventi si verificano con una frequenza media $\lambda$. Questa distribuzione è stata utilizzata per modellare eventi come pioggia di meteoriti e goal in una partita di calcio.

La distribuzione uniforme è una distribuzione continua tale che tutti gli intervalli di uguale lunghezza sul supporto della distribuzione hanno uguale probabilità. Ad esempio, questa distribuzione può essere utilizzata per modellare le date di nascita delle persone, dove si presume che siano ugualmente possibili in tutto l'anno solare.

La distribuzione normale (o gaussiana) è una funzione di densità a forma di campana ed è usata nelle scienze per rappresentare variabili casuali che appartengono ai numeri reali supponendo che siano prodotti dalla combinazione di molti, molti piccoli effetti. Ad esempio, la distribuzione normale viene utilizzata per modellare l'altezza delle persone, poiché l'altezza può essere considerata come il risultato di molti piccoli fattori genetici ed ambientali.

La distribuzione t di Student, o semplicemente la distribuzione Student, appare quando si stima la media di una popolazione con distribuzione normale in situazioni in cui la dimensione del campione è piccola e la deviazione standard della popolazione non è nota.

Una variabile aleatoria chi quadrata con (\k\) gradi di libertà, è la somma di $k$ variabili aleatorie normali quadrate indipendenti e identicamente distribuitie Viene spesso utilizzato nei test di ipotesi e nella costruzione degli intervalli di confidenza .

La distribuzione esponenziale è l'analogo continuo della distribuzione geometrica. Di solito è usata per modellare i tempi di attesa.

La distribuzione F, nota anche come distribuzione di Fisher-Snedecor, si presenta solitamente come la distribuzione dell'ipotesi nulla di un test statistico, in particolare nel analisi della varianza .

La distribuzione gamma rientra nella famiglia delle distribuzioni di probabilità continue. Le distribuzioni esponenziali e chi-quadrato sono casi speciali della distribuzione gamma.

La distribuzione beta rientra nella famiglia di distribuzioni di probabilità delemitate tra 0 e 1. La distribuzione beta è spesso utilizzata come distribuzione preliminare del coniugato nelle statistiche bayesiane.L

Funzione di Probabilità Densità di Probabilità	Media	Varianza
$f(x;p) = \begin{cases} p & \text{if } x = 1 \\ 1-p & \text{if } x = 0 \end{cases}$ $ f(x; n,p) = \binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$ $f(x; n,r,p) = \binom{x + r -1}{x}p^{x}(1-p)^{r}$ $ f(x; p) = (1-p)^{x}p$ $ f(x;\lambda) = \dfrac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$ $f(x;a,b) = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{b-a} \text{ for } x \in [a,b]\\ 0 \qquad \text{ otherwise } \end{array}\right.$ $ f(x;\mu, \sigma^2) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} e^{-\dfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$ $\dfrac{Z}{\sqrt{U/k}} \qquad \begin{array}{ll} Z \sim N(0,1)\\ U \sim \chi_{k} \end{array}$ $\sum_{i=1}^{k}Z_{i}^{2} \qquad Z_{i} \overset{i.i.d.}{\sim} N(0,1)$ $ f(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{if } x \geq 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $ $\dfrac{U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}} \qquad \begin{array}{ll} U_{1} \sim \chi_{d_{1}}\\ U_{2} \sim \chi_{d_{2}} \end{array}$ $ f(x; k,\theta) = \dfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}x^{k-1}e^{-\dfrac{x}{\theta}}$ $f(x;\alpha,\beta) = \dfrac{\Gamma(\alpha + \beta)x^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}$	$p$ $np$ $\dfrac{pr}{1-p}$ $\dfrac{1}{p}$ $\lambda$ $\dfrac{a+b}{2}$ $\mu$ $0$ $k$ $\frac{1}{\lambda}$ $\dfrac{d_{2}}{d_{2}-2}$ $k\theta$ $\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}$	$p(1-p)$ $np(1-p)$ $\dfrac{pr}{(1-p)^{2}}$ $\dfrac{1-p}{p^{2}}$ $\lambda$ $\dfrac{(b-a)^{2}}{12}$ $\sigma^{2}$ $\dfrac{k}{k-2}$ $2k$ $\frac{1}{\lambda^{2}}$ $\dfrac{2d_{2}^{2}(d_{1} + d_{2} -2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}$ $k\theta^{2}$ $\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^{2}(\alpha + \beta + 1)}$

$\large p$ = 0.5

$\large n$ = 5
$\large p$ = 0.5

$\large r$ = 5
$\large p$ = 0.5

$\large p$ = 0.5

$\large\lambda$ = 5

$\large a$ = -5
$\large b$ = 5

$\large \mu$ = 0
$\large \sigma$ = 1

$\large k$ = 5

$\large \lambda$ = 5

$\large d_{1}$ = 5
$\large d_{2}$ = 5

$\large k$ = 5
$\large \theta$ = 5

$\large \alpha$ = 5
$\large \beta$ = 5

Teorema del Limite Centrale

Il Teorema del limite centrale (TLC) afferma che la media campionaria di un numero sufficientemente lungo di variabili casuali indipendenti distribuite in modo identico ha approssimativamente una distribuzione normale. Maggiore è il campione, migliore è l'approssimazione.

Cambia i parametri $\alpha$ e $\beta$ per determinare la distribuzione da cui provare.

$\large \alpha$ = 1.00
$\large \beta$ = 1.00

Scegli la dimensione del campione e il numero di medie campionarie da estrarre, quindi premi "Campiona". Puoi anche selezionare la casella per vedere la distribuzione effettiva della media campionaria.

Misura di prova = 1
Numero di medie = 1

Distribuzione Teorica

Campiona

Questa visualizzazione è una adattamento di quella magnifica realizzata da Philipp Plewa per mostrare il teorema del limite centrale.

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